Для определения рода слова “посудомойка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “посудомойка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “посудомойка” можно определить род.
Слово “посудомойка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “посудомойка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “посудомойка” находится по ссылке