Для определения рода слова “прерогатива” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “прерогатива” . Тогда в зависимости от окончания в слове “прерогатива” можно определить род.
Слово “прерогатива” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “прерогатива” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “прерогатива” находится по ссылке