Для определения рода слова “прибежище” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “прибежище” . Тогда в зависимости от окончания в слове “прибежище” можно определить род.
Слово “прибежище” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “прибежище” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “прибежище” находится по ссылке