Для определения рода слова “прихлебательство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “прихлебательство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “прихлебательство” можно определить род.
Слово “прихлебательство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “прихлебательство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “прихлебательство” находится по ссылке