Для определения рода слова “путина” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “путина” . Тогда в зависимости от окончания в слове “путина” можно определить род.
Слово “путина” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “путина” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “путина” находится по ссылке