Для определения рода слова “радуга” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “радуга” . Тогда в зависимости от окончания в слове “радуга” можно определить род.
Слово “радуга” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “радуга” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “радуга” находится по ссылке