Для определения рода слова “синодик” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “синодик” . Тогда в зависимости от окончания в слове “синодик” можно определить род.
Слово “синодик” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “синодик” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “синодик” находится по ссылке