Для определения рода слова “сожительство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “сожительство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “сожительство” можно определить род.
Слово “сожительство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “сожительство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “сожительство” находится по ссылке