Для определения рода слова “соперничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “соперничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “соперничество” можно определить род.
Слово “соперничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “соперничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “соперничество” находится по ссылке