Для определения рода слова “угодничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “угодничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “угодничество” можно определить род.
Слово “угодничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “угодничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “угодничество” находится по ссылке