Для определения рода слова “фитюлька” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “фитюлька” . Тогда в зависимости от окончания в слове “фитюлька” можно определить род.
Слово “фитюлька” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “фитюлька” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “фитюлька” находится по ссылке