Для определения рода слова “читальня” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “читальня” . Тогда в зависимости от окончания в слове “читальня” можно определить род.
Слово “читальня” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “читальня” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “читальня” находится по ссылке