Для определения рода слова “эгида” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “эгида” . Тогда в зависимости от окончания в слове “эгида” можно определить род.
Слово “эгида” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “эгида” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “эгида” находится по ссылке