Для определения рода слова “автоответчик” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “автоответчик” . Тогда в зависимости от окончания в слове “автоответчик” можно определить род.
Слово “автоответчик” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “автоответчик” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “автоответчик” находится по ссылке