Для определения рода слова “бричка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “бричка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “бричка” можно определить род.
Слово “бричка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “бричка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “бричка” находится по ссылке