Для определения рода слова “гнёздышко” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “гнёздышко” . Тогда в зависимости от окончания в слове “гнёздышко” можно определить род.
Слово “гнёздышко” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “гнёздышко” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “гнёздышко” находится по ссылке