Для определения рода слова “побасенка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побасенка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побасенка” можно определить род.
Слово “побасенка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “побасенка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “побасенка” находится по ссылке