Для определения рода слова “побывальщина” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побывальщина” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побывальщина” можно определить род.
Слово “побывальщина” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “побывальщина” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “побывальщина” находится по ссылке