Для определения рода слова “попугай” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “попугай” . Тогда в зависимости от окончания в слове “попугай” можно определить род.
Слово “попугай” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “попугай” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “попугай” находится по ссылке