Для определения рода слова “прозябанье” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “прозябанье” . Тогда в зависимости от окончания в слове “прозябанье” можно определить род.
Слово “прозябанье” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “прозябанье” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “прозябанье” находится по ссылке