Для определения рода слова “разгильдяйство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “разгильдяйство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “разгильдяйство” можно определить род.
Слово “разгильдяйство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “разгильдяйство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “разгильдяйство” находится по ссылке