Для определения рода слова “рим” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “Рим” . Тогда в зависимости от окончания в слове “Рим” можно определить род.
Слово “рим” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “Рим” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “рим” находится по ссылке