Для определения рода слова “аракчеевщина” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “аракчеевщина” . Тогда в зависимости от окончания в слове “аракчеевщина” можно определить род.
Слово “аракчеевщина” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “аракчеевщина” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “аракчеевщина” находится по ссылке