Для определения рода слова “бадья” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “бадья” . Тогда в зависимости от окончания в слове “бадья” можно определить род.
Слово “бадья” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “бадья” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “бадья” находится по ссылке