Для определения рода слова “кают-компания” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “кают-компания” . Тогда в зависимости от окончания в слове “кают-компания” можно определить род.
Слово “кают-компания” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “кают-компания” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “кают-компания” находится по ссылке