Для определения рода слова “побратимство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побратимство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побратимство” можно определить род.
Слово “побратимство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “побратимство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “побратимство” находится по ссылке