Для определения рода слова “республика” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “республика” . Тогда в зависимости от окончания в слове “республика” можно определить род.
Слово “республика” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “республика” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “республика” находится по ссылке