Для определения рода слова “читалка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “читалка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “читалка” можно определить род.
Слово “читалка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “читалка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “читалка” находится по ссылке