Для определения рода слова “живинка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “живинка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “живинка” можно определить род.
Слово “живинка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “живинка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “живинка” находится по ссылке