Для определения рода слова “закуток” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “закутка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “закутка” можно определить род.
Слово “закуток” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “закутка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “закуток” находится по ссылке