Для определения рода слова “косынка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “косынка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “косынка” можно определить род.
Слово “косынка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “косынка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “косынка” находится по ссылке