Для определения рода слова “паломничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “паломничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “паломничество” можно определить род.
Слово “паломничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “паломничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “паломничество” находится по ссылке