Для определения рода слова “прихожая” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “прихожая” . Тогда в зависимости от окончания в слове “прихожая” можно определить род.
Слово “прихожая” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “прихожая” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “прихожая” находится по ссылке