Для определения рода слова “авоська” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “авоська” . Тогда в зависимости от окончания в слове “авоська” можно определить род.
Слово “авоська” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “авоська” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “авоська” находится по ссылке