Для определения рода слова “идиотство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “идиотство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “идиотство” можно определить род.
Слово “идиотство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “идиотство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “идиотство” находится по ссылке