Для определения рода слова “попечительство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “попечительство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “попечительство” можно определить род.
Слово “попечительство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “попечительство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “попечительство” находится по ссылке